“终极公理”的计算机，就能证明我们并不比这台计算机强大。

依此类推。你可以告诉我思考出的任何“只意识到”的添加到你的理论里会很合适的公理，我来为计算机添加按钮以便体现这些原则。

虽然还不够完全，但这已经足以揭示第二种论调的错误之处了。我们还可以尝试用最后一搏来修复它：当然，如果我把自己加入公理的原则告诉你，你就可以制造出体现这些原则的计算机。但是，我的原则是无限的。我有一个原则，即无论你按下多少次按钮，你的理论依旧是具有一致性的。你可以再用一个绿色的按钮来表述它，但我再加入一个新原则，即无论你按下多少次绿色按钮，你的理论依旧是具有一致性的。无论你制造了多么强大的计算机，我总能找出你没有预置进计算机当中的原则。所以，没有计算机能跟我的大脑一样强大。

因此，当你使用到更高层次的原则时，把握住每一个原则的含义就更加困难了，更不用说还要确认它的正确性了。你真的确认，运用很多次很多次很多次很多次“按下蓝色按钮很合理”的原则的原则的原则的原则以后，你还能保持数学具有一致性的观点不变吗？按照托克尔·弗兰岑的话来说就是：

当我们继续制定更有力、更广泛的原则，将一个正确的理论放大为一个更丰富且正确的理论时，我们就要面对一系列问题，一系列需要用“的确如此”还是“显然不对”来回答的问题……不同的数学家、哲学家对于这些问题会给出不同的答案，甚至会有很多人说并没有明确的答案。为了设计出一个能完全模仿人类数学家的反应的机器人，我们原本应该提供给它类似的参考答案的范围。除非我们做到了这一点……否则，我们就没有理由宣称人类数学家可以证实所有机器人无法证实的内容。可是，我们其实只是成功地将机器人变得跟人类一样，而机器人在从一个影响深远的正确理论思考出更强有力的正确理论的过程中，是思维混乱的、无法确认结果的。

换言之，你的思维中能够很自然就接纳的原则很可能并不是无限的，而且只要它们不是无限的，我就可以将它们全部输入到一台计算机里去。哥德尔的理论并不能用来反驳这点。

纯粹的逻辑（1）

纯粹的逻辑：守身如玉者为何更易助长艾滋病的传播？

哲学的特征就在于，从貌似微不足道的简单事物出发，最终得出貌似自相矛盾以至于无人相信的结论。

伯特兰·罗素

数学家就像小情人。给数学家提供一丁点儿原则，他就会由此推导出一个结果并向你索取它，接下来他还会从这个结果推导出下一个同样会向你索取的结果。

贝尔纳·德·丰特奈尔（Bernard de Fontenelle）

纯粹的逻辑推理分球悖论

在数学领域，最著名的违背常理的命题便是著名的“巴拿赫–塔斯基分球悖论”：先按照你想要的任意尺寸挑选一个球，比如说足球。然后我们把它分为5部分，将各部分重新排列，最终将它们重新制作成两个与原来的球体积相同的球。再把这两个球各自重新排列、制作一遍，那么你就可以得到4个球。这样不断做下去，你肯定能把宇宙都填满。

这听起来是一个很有用的定理，尤其当你不能确认会来参加你的生日宴会的朋友总数时。你只需要按照你想要的尺寸烤一个蛋糕（要是这个定理生效的话，你甚至无须特意烤球形的蛋糕），把它切成形状合适的5份，然后把它们按照正确的方式重新组合起来，那么现在你就获得了两个蛋糕。

当然，很不幸的是，在现实世界中，我们只能找到由原子和原子周围巨大的空间组成的实实在在的物质，任何物体都不例外。“巴拿赫–塔斯基分球悖论”冲击着我们的直觉，是因为