这是一个数字事实，实际上，它只是一个与数学法则有关的简单事实，因为九头蛇游戏确实也只是一个算术练习而已。我们使用示意图来演示会发生的情况，但它们都不是必需的；整个游戏完全可以利用含有许多数字的数学方式表达出来。

海格力斯最终会胜利吗？

而更加惊人的事实是，尽管海格力斯总会取得胜利，但我们无法证明海格力斯总会取得胜利。“无法证明”意味着“无法用标准的数学公理来证明”，而标准的数学公理就是我们在前面提到的皮亚诺公理。

如果海格力斯的无敌性无法被证明，那么我们怎么知道这是正确的呢？当然，这是因为这已经被证明，只不过这种证明使用了皮亚诺公理列表之外的公理。这个公理便是我之前所说的“超级公理”：数学法则是具有一致性的。（也就是说，皮亚诺公理不可能推导出矛盾的结果。）①

有个更简单的办法来证明海格力斯总会胜利。只要引入一条专门的“海格力斯公理”，其内容就是“海格力斯总会胜利”。这让对此命题的证明只需要一行字：“海格力斯总会胜利，因为这是一个公理”。从逻辑上看，这似乎无懈可击，但它永远无法说服任何人、无法说明任何事情。这种无中生有的臆造公理并不会具有本质上的正确性。

但是这样的说法的确是正确的：海格力斯要么总不能取得胜利，要么总能取得胜利。而且差不多每个人，也就是每个关注这些事情的人不可否认的是，他们只是“每个人”当中非常小的一部分相信事实上他总会取得胜利。他们相信这一点，因为有关的证明并不基于所谓的“海格力斯公理”，而是基于“超级公理”，而且“超级公理”可不是无中生有臆造出来的。“超级公理”不需要证明就是正确的。

什么使得“超级公理”不证自明呢？唯一的原因便是：我们认识到数学公理是实实在在存在的。一个随意的公理列表很可能就是前后不一致的，但数学公理则不是随机的。它们描述了真实存在的事物，即自然数体系。正因为如此，我们知道它们是具有内部一致性的；换句话说，也正因为如此，我们知道“超级公理”是正确的。

如果某一天有人发现一个无法被海格力斯打败的九头蛇，我们就得知“超级公理”是错误的，所以我们会得知数学公理是前后不一致的，自然数也不存在。但那种情况的可能性有多大？或许又是“kanoogol”分之一吧！

不完备的人类思维（1）

不完备的人类思维：计算机与人类，谁更聪明？

如果我们非要用数学方法来证明的话，那些真正已经触及或可能触及人类心灵的问题并不会像回答“人们跳跃的安全高度是多少”、“一个人在5分钟内能吃多少热狗”、“一个人可以记住圆周率小数点后多少位”、“人类目前可以到达太空多少公里”等问题那样简单。

它们会更像“一个人在5分钟内能吃多少热狗且不会让自己感到恶心”之类的问题，它们是在不同的时代、不同的社会中由不同的人得到不同的答案的问题。

托克尔·弗兰岑

哥德尔不完备性定理居然戏剧性地被用来“启发”出了两种对立的、持久的错误论调。它既被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更狭窄，也被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更宽广。

第一种错误论调似乎主要是受人们对“不完备性”这个词过于宽泛的解释而“启发”出的，认为“哥德尔证明了一切形式的推理都是很不充分的”。

但事实上，哥德尔只证明了：第一，就像我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题是无法被你证明的。第二，数学本身不能用来证明自身的内部一致性。

这